Los 35 Camellos:
Hacía pocas horas que
viajábamos sin interrupción, cuando nos ocurrió una aventura digna de ser
referida, en la cual mi compañero Beremiz puso en práctica, con gran talento,
sus habilidades de eximio algebrista.
Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, tres hombres que discutían acaloradamente al lado de un lote de camellos.
Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas:
- ¡No puede ser!
- ¡Esto es un robo!
- ¡No acepto!
El inteligente Beremiz trató de informarse de que se trataba.
- Somos hermanos –dijo el más viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte. No sabemos sin embargo, como dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones?
- Es muy simple –respondió el “Hombre que calculaba”-. Me encargaré de hacer con justicia esa división si me permitís que junte a los 35 camellos de la herencia, este hermoso animal que hasta aquí nos trajo en buena hora.
Traté en ese momento de intervenir en la conversación:
- ¡No puedo consentir semejante locura! ¿Cómo podríamos dar término a nuestro viaje si nos quedáramos sin nuestro camello?
- No te preocupes del resultado “bagdalí” –replicó en voz baja Beremiz-. Sé muy bien lo que estoy haciendo. Dame tu camello y verás, al fin, a que conclusión quiero llegar.
Fue tal la fe y la seguridad con que me habló, que no dudé más y le entregué mi hermoso “jamal” , que inmediatamente juntó con los 35 camellos que allí estaban para ser repartidos entre los tres herederos.
- Voy, amigos míos –dijo dirigiéndose a los tres hermanos- a hacer una división exacta de los camellos, que ahora son 36.
Y volviéndose al más viejo de los hermanos, así le habló:
- Debías recibir, amigo mío, la mitad de 35, o sea 17 y medio. Recibirás en cambio la mitad de 36, o sea, 18. Nada tienes que reclamar, pues es bien claro que sales ganando con esta división.
Dirigiéndose al segundo heredero continuó:
- Tú, Hamed Namir, debías recibir un tercio de 35, o sea, 11 camellos y pico. Vas a recibir un tercio de 36, o sea 12. No podrás protestar, porque también es evidente que ganas en el cambio.
Y dijo, por fin, al más joven:
- A ti, joven Harim Namir, que según voluntad de tu padre debías recibir una novena parte de 35, o sea, 3 camellos y parte de otro, te daré una novena parte de 36, es decir, 4, y tu ganancia será también evidente, por lo cual sólo te resta agradecerme el resultado.
Luego continuó diciendo:
- Por esta ventajosa división que ha favorecido a todos vosotros, tocarán 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado (18 + 12 + 4) de 34 camellos. De los 36 camellos sobran, por lo tanto, dos. Uno pertenece, como saben, a mi amigo el “bagdalí” y el otro me toca a mí, por derecho, y por haber resuelto a satisfacción de todos, el difícil problema de la herencia.
- ¡Sois inteligente, extranjero! –Exclamó el más viejo de los tres hermanos-. Aceptamos vuestro reparto en la seguridad de que fue hecho con justicia y equidad.
Este Problema se Desarrolla en el Capitulo n° 3
El jeque dirigiéndose a los
tres musulmanes, dijo:
-¡Aquí tenemos al eximio
Calculador!
Luego señalando a éstos añadió:
-¡Aquí están mis tres
amigos! Son criadores de carneros y vienen de Damasco. Se les plantea ahora uno
de los más curiosos problemas que haya visto en mi vida. Es el siguiente:
Como pago de un pequeño de
lote de carneros recibieron aquí en Bagdad, una partida de vino excelente,
envasado en 21 vasijas iguales, de las cuales se hallan:
7
llenas
7
mediadas
7
vacías
Quieren ahora repartirse
estas 21 vasijas de modo que cada una de ellos reciba el mismo número de
vasijas y la misma cantidad de vino.
Repartir las vasijas es
fácil. Cada uno se quedará con siete. La dificultad está, según entiendo, en
repartir el vino sin abrir las vasijas; es decir, dejándolas exactamente como
están. ¿Será posible, ¡oh Calculador!, hallar una solución satisfactoria a este
problema?
Beremiz, después de meditar
en silencio durante dos o tres minutos, respondió:
-El reparto de las 21
vasijas podrá hacerse, ¡oh jeque! sin grandes cálculos. Voy a indicarle la
solución que me parece más sencilla. Al primer socio le corresponderán:
3
vasijas llenas;
1
mediada
3
vacías.
Recibirá así un total de 7
vasijas.
Al segundo socio le
corresponderán:
2
vasijas llenas;
3
mediadas;
2
vacías.
Recibirá así también siete
vasijas.
La parte que corresponderá
al tercero será igual a la del segundo, esto es:
2
vasijas llenas;
3
mediadas;
2
vacías.
Según la división que acabo
de indicar cada socio recibirá 7 vasijas e igual cantidad de vino. En efecto:
Llamemos 2 –dos- a la porción de vino de una vasija llena, y 1 a la porción de
vino de la vasija mediada.
El primer socio recibirá, de
acuerdo con la división:
2 +
2 + 2 + 1
y esa suma es igual a siete
unidades de vino.
Cada uno de los otros dos
socios recibirán:
2 +
2 + 1 + 1 + 1
y esa suma es también igual
a 7 unidades de vino.
Esto viene a robar que la
división que he sugerido es cierta y justa.
El problema, que en
apariencia es complicado, no ofrece la mayor dificultad en cuanto a su
resolución numérica.
La solución presentada por
Beremiz fue recibida con mucho agrado, no solo por el jeque, sino también por
sus amigos damacenos.
Este problema se desarrolla en el capitulo n° 8
Los Cuatro Cuatros:
Se
interesó Beremiz por un elegante y armonioso turbante azul claro que ofrecía un
sirio medio corcovado, por 4 dinares. La tienda de este mercader era además muy
original, pues todo allí –turbantes, cajas, puñales, pulseras, etc.- era
vendido a 4 dinares. Había un letrero que decía con vistosas letras:
Los cuatro cuatros
Al ver a
Beremiz interesado en comprar el turbante azul, le dije:
-Me
parece una locura ese lujo. Tenemos poco dinero, y aún no pagamos la hostería.
-No es
el turbante lo que interesa, respondió Beremiz. Fíjate en que esta tienda se
llama “Los cuatro cuatros”. Es una coincidencia digna de la mayor
atención.
-¿Coincidencia?
¿Por qué?
-La
inscripción de ese cartel recuerda una de las maravillas del
Cálculo:
empleando cuatro cuatros podemos formar un número cualquiera…
Y antes
de que le interrogara sobre aquel enigma, Beremiz explicó mientras escribía en
la arena fina que cubría el suelo:
-¿Quieres
formar el cero? Pues nada más sencillo. Basta escribir:
44 – 44
Ahí
tienes los cuatro cuatros formando una expresión que es igual
a cero.
Pasemos
al número 1. Esta es la forma más cómoda
44
-----------
44
Esta
fracción representa el cociente de la división de 44 por 44. Y este cociente es
1.
¿Quieres
ahora el número 2? Se pueden utilizar fácilmente los cuatro cuatros y escribir:
4 4
-- + --
4 4
La suma
de las dos fracciones es exactamente igual a 2. El tres es más difícil. Basta
escribir la expresión:
4 + 4 + 4
------------
4
Fíjate
en que la suma es doce; dividida por cuatro da un cociente de 3. Así pues, el
tres también se forma con cuatro cuatros.
-¿Y
cómo vas a formar el número 4? –le pregunté-.
-Nada
más sencillo –explicó Beremiz-; el 4 puede formarse de varias maneras
diferentes. He ahí una expresión equivalente a 4.
4 - 4
4 + --------
4 + --------
4
Observa
que el segundo término
4 – 4
--------
4
Es nulo
y que la suma es igual a 4. La expresión escrita equivale a:
4 + 0,
o sea 4.
Me di
cuenta de que el mercader sirio escuchaba atento, sin perder palabra, la
explicación de Beremiz, como si le interesaran mucho aquellas expresiones
aritméticas formadas por cuatro cuatros.
Beremiz
prosiguió:
-Quiero
formar por ejemplo el número 5. No hay dificultad.
Escribiremos:
4 x 4 + 4
------------
4
Esta
fracción expresa la división de 20 por 4. Y el cociente es 5. De
este
modo tenemos el 5 escrito con cuatro cuatros.
Pasemos
ahora al 6, que presenta una forma muy elegante:
4 + 4
----------
+ 4
4
Una
pequeña alteración en este interesante conjunto lleva al resultado 7.
44
------ + 4
4
Es muy
sencilla la forma que puede adoptarse para el número 8 escrito con cuatro
cuatros:
4 + 4 + 4 – 4
El
número 9 también es interesante:
4
4+4+---
4
Y ahora
te mostraré una expresión muy bella, igual a 10, formada con cuatro cuatros:
44 – 4
--------
4
En este
momento, el jorobado, dueño de la tienda, que había seguido las explicaciones
de Beremiz con un silencio respetuoso, observó:
-Por lo que acabo de oír,
el señor es un eximio matemático.
Este Problema Se encuentra en el capitulo n° 7
Cuadro Magico o perfecto:
Pensé que era prudente revisar la antigua vivienda del calígrafo pues quizá
allí encontrara alguna indicación sobre el lugar a donde se había
dirigido.
La casa estaba abandonada desde el día en que la dejó su antiguo
morador.
Todo allí mostraba la más lamentable pobreza. Un lecho destrozado, colocado en un rincón, era todo el mobiliario. Había, sin embargo, sobre una tosca mesa de madera un tablero de ajedrez con algunas piezas de este noble juego, y en la pared un cuadro lleno de
números.
Encontré extraño que un hombre tan paupérrimo, que arrastraba una vida llena de privaciones, cultivara el juego del ajedrez y adornara las paredes con figuras formadas con expresiones matemáticas. Decidí traer conmigo el tablero y el cuadrado numérico para que nuestros dignos ulemas puedan observar esas reliquias
dejadas por el viejo calígrafo.
El sultán, presa de vivo interés sobre el caso, mandó que Beremiz examinase con la debida atención el tablero y la figura, que más parecía trabajo de un discípulo de Al-Kharismi, que adorno para el cuarto de un pobre calígrafo.
Después de observar minuciosamente ambos objetos el Hombre que Calculaba, dijo:
-Esta interesante figura numérica hallada en el cuarto abandonado del calígrafo, constituye lo que llamamos un "cuadrado mágico".
Tomemos un cuadrado y dividámoslo en 4, 9 o 16 cuadros iguales,
que llamaremos "casillas".
Cuadro mágico de
nueve casillas. La suma de los números de cada una de estas casillas que forman
una columna, hilera o diagonal, es siempre quince.
En cada una de esas casillas coloquemos un
número entero. La figura obtenida será un cuadrado mágico cuando la suma de los
números que figuran en una columna, en una línea o en cualquiera de las
diagonales, sea siempre la misma. Este resultado invariable es denominado
"constante" del cuadrado y el número de casillas de una línea es el
módulo del cuadrado.
Los números que ocupan las diferentes
casillas del cuadrado mágico deben ser todos diferentes y tomados en el orden
natural.
Es oscuro el origen de los cuadrados
mágicos. Se cree que la construcción de estas figuras constituía ya en la época
remota un pasatiempo que captaba la atención de gran número de curiosos.
Como los antiguos atribuían a ciertos
números propiedades cabalísticas, era muy natural que vieran virtudes mágicas
en la especial característica de estos cuadrados.
Los matemáticos chinos que vivieron 45
siglos antes de Mahoma, ya conocían los cuadrados mágicos.
El cuadrado mágico con 4 casillas no se
puede construir.
En la India, muchos usaban el cuadrado
mágico como amuleto. Un sabio del Yemen afirmaba que los cuadrados mágicos
servían para prevenir ciertas enfermedades. Un cuadrado mágico de plata,
colgado al cuello, evitaba según ciertas tribus el contagio de la peste.
Los antiguos Magos de Persia, que también
ejercían la medicina, pretendieron curar las enfermedades aplicando a la parte
enferma un cuadro mágico, siguiendo el conocido principio:
"Primum non nocere"
o sea: primer principio, no dañar.
Sin embargo, es en el terreno de la
Matemática donde el cuadrado mágico constituye una curiosa particularidad.
Cuando un cuadrado mágico presenta ciertas
propiedades, como, por ejemplo, ser susceptible de descomposición en varios
cuadrados mágicos, lleva el nombre de hipermágico.
Entre los cuadrados hipermágicos podemos
citar los diabólicos. Así se denominan los cuadrados que continúan siendo
mágicos cuando trasladamos una columna que se halla a la derecha hacia la izquierda
o cuando pasamos una línea de abajo arriba.
Cuadro mágico de dieciséis
casillas que los matemáticos denominan "diabólico”. La constante
"treinta y cuatro" de este cuadro mágico, no solamente se obtiene
sumando los números de una misma columna, hilera o diagonal sino también
sumando de otras maneras cuatro números del mismo cuadro:
4 + 5 + 11 + 14 = 34; 1 + 11 + 16 + 6 = 34
4 + 9 + 6 + 15 = 34; 10 + 13 + 7 + 4 = 34
Y así de ochenta y seis modos
diferentes.
Las indicaciones dadas por Beremiz sobre
los cuadrados mágicos fueron oídas con la mayor atención por el rey y por los
nobles musulmanes.
Este Problema se encuentra en el Capitulo n° 15
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